【世界基数】

    定义：一个基数 k 是 worldly cardin al ，如果 Vk = ZFc .

    我并不知道这个基数是谁提出的，这里只是做出一些解释。下面的结果应该都是已知的，但是我没有去找参考文献。我们用 wc 表示 workdly cardinal 。下面的命题是显然的。

    命题1:ZFc+3 wch  ( ZFc +  ( ZFc )).

    由 Godel 不完备性， ZFc +  ( ZF c ）不能证明3wc．同样  ( ZFc +3 wc )也不是 ZFc +  ( ZFc ）能证明的。

    我们用 I 表示不可达基数。显然每一

    个不可达基数都是 wc ，因此：

    命题2:ZFc+3I3wc.

    但是最小的 wc 严格小于最小的 l 。命题3：如果 k 是不可达的，则存在世界基数入＆ amp ; amp ; It ; k 。

    证明：假定 k 不可达，有 Skolem 定理（及其构造方法），存在可数模型 mo ＜ Vk 以及n0 amp ; lt ; k 使得m0EVn0。一般地，对于任意 i , mi ＜ Vk 以及 ni

    amp ; lt ; k 使得 miEVni ，存在模型 mi +1EVni+1使得 mi +1＜ Vk 并且 Vni cmi +1。

    令入＝ Uini

    amp ; lt ; k 。显然 Vi ( mi ＜ mi +1)。因而有模型论基本知识， U imi ＜ Vk 。有构造，我们知道 V 入＝ Uimi 。因此 V 入＜ Vk 从而是 ZFc 的模型。因而入是 wc

    由命题3，我们有以下推论：

    推论3.1:ZFc+3 II  ( ZFc +3 w

    c ).

    因此 wc 的协调性强度是严格弱于不可达基数的。由命题3的证明，我们可以推断最小的世界基数具有共尾性w。

    还有人提及以下定义：

    定义2：一个序数 a 是可扩的，如果存在 p

    amp ; gt ; a 使得 Va ＜ Vb 。

    我们用 Ec 表示可扩基数。显然命题

    3中的入就是可扩的。并且可以构造在 k 下另外一个入'' amp ; gt ；入使得 V 入＜ V 入''＜ Vk .@ ZS  在评论里提到了 Joel hamkins 给了关于可扩基数的比较完整的描述（ the otherwordly cardinals )。其中下面这个定理澄清了 Ec 的强度

    定理1( hamkins ): EcS wc ，并且每一个 Ec 下面都有一个 wc 严格小于它．

    注意虽然不可达基数的强度要严格高于存在 Ec 的协调性，但是 I Ec ．例如最小的不可达基数不属于 Ec。

    【ZFc 公理宇宙】

    1．不可达基数

    可数，不可数，后继，极限，正则，奇异。

    不可达基数就是指不可数正规的强极限基数，如果是不可数正规的极限基数，则称之为弱不可达基数。可数就是指小于等于阿列夫零的基数。反之不可数就是指大于阿列夫零的基数。后继，就是指比它小的基数中有最大值，极限就是指比它小的基数中没有最大值，强极限就是比它小的任意基数中，2的次方均小于它。正规就是到达它的最短长度等于本身，也就是若 k 是正则基数，则不存在小于 k 个小于 k 的集组之并的基数为 k ，或者说不存在小于 k 个严格递增的序列，其极限为 k 。奇异就是到达它的最短长度小于本身。对于基数 k ，存在小于 k 的严格递增的序列的极限为 k ,则 k 为奇异基数。正规和奇异基数引入了共尾度的概念，共尾度就是到达它的最短长度。后继序数的共尾度是1。正则基数就是 cf ( k )= k ，奇异基数就是 cf ( k ) amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k .

    不可达基数 k 就是对任意小于 k 的基数，取幂集的基数仍然小于 k 并且由任意小于 k 个小于 k 的集组之并的基数仍然小于 k 。而对比弱不可达基数只要满足＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 的任意基数的后继仍然＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ; k 就行。而具有以上相同性质的可数基数就是阿列夫零。

    举个例子： cf (1)=1, cf （任意有限数）=1, cf ( w )= w , cf ( w _1)= w _1（不存在长度是 w 的序列，因为小于 w _1的基数是可数的，但可数个可数集之并（也就是它们的上确界）可数，不可能是 w _1)。 cf ( w _ w )= w （长度 w 的序列取 w , w _1, w _

    2,w3,......)。

    对于极限序数，有 cf ( a )= cf ( w _ a ),所以对于不可达基数 k , k = w _ k ，但是，这样的奇异不动点非常多。比如说 a 是任意的基数，然后设序数列 w _ a , w _( w _ a ),.....．设 k 是它们的确界，很显然容易证明 k = w _ k ，但是很遗憾，这基数仍然还是奇异基数，并且它的共尾度是 w 。

    好了。以下基数的性质。

    0，可数，正规，强极限。1，可数，正规，后继。2，可数，非正规，后继。 w ，可数，正规，强极限。 w _

    1，不可数，正规，后继。 w _2，不可数，正规，后继。 w _ w ，不可数，非正规，极限。 w _( w +1)，不可数，正规，后继。 w _( w _1)，不可数，非正规，极限。阿列夫不动点，不可数，非正规，极限。

    很显然，用替代公理模式获取的基数，三个条件都不能同时满足，所以都不是不可达基数。不过，在大于 w 的基数中，正规极限的基数则就是不可达基数。也可以说，从阿列夫零到不可达基数其概念意义上的距离，跟从0到阿列夫零是一样的。

    有了替代公理模式，你可以构造类似 omega - fixed - point ={ xEwlf (0)= w , f ( x )= w _ f ( x -1)｝的集合，通过更大的 f 就能获取更大的基数。但是，很显然，由替代公理所迭代获取出来的基数，全部都是奇异基数，其 xE 的那个数就是它的共尾度或者是共尾度比这个数还小，哪怕再大，均不符合 cf ( k )= k 的条件。因此不可能抵达不可达基数。

    不可达基数本身也是阿列夫数，同时也都是不可达的阿列夫不动点，贝斯不动点，极限基数（因为对于后继基数阿列夫（ a +1) amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;=2^阿列夫 a ，不符合强极限的定义）。同时不存在一个（ xE ( amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; lt ; k ) lf ( x ) amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k )的集合，使得其上确界为 k 。

    还可以更抽象的理解不可达基数，假如连续统假设成立。则2^阿列夫零＝阿列夫一，2^阿列夫一＝阿列夫二．.....你可以这样迭代下去，你能得到阿列夫（阿列夫（阿列夫一）)，阿列夫（阿列夫（阿列夫（阿列夫．.....)))，你所想象到的迭代，无论是多么的变态，你都不可能迭代出不可达基数。因为不可达基数是正则基数，不可能从下至上抵达它。举个例子，有限的数，它们经过任意有限次迭代，都不可能到达无穷大，只能用∞这个符号表示，同样，∞（指小基数）,哪怕它们经过任意8次迭代，也不可能到达不可达基数。

    你取到 k 之后，那么 k 和2^ k 都是正则的大基数，继续对 k 替代公理模式以及对 k 取幂集，仍然不可达的就是第二个不可达基数。

    2．马洛基数

    一个无穷基数 k 是马洛基数（ mahlo cardinal ）当且仅当 k 是一个不可达基数并且是“正则基数”。

    { A

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kl 入是正则基数｝是 k 上的平稳集［1]。如果 k 是马洛基数，则是“不可达基数”。

    {1 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kl 入是不可达基数｝是 k 上的平稳集，因此 k 是第 k 个不可达基数。

    为了得到以上结论，我们来证明如果 K 是任何不可达基数，则是“强极限基数”

    c :={\\ amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 入是强极限基数｝是 k 上的无界闭集。先来证明闭性：

    假设基数入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ; k 是 c 的极限点，即入＝ sup ( 入），则对任何μ amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ；入有强极限基数 yE 入使得μ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y ，从而2μ amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; lt ; y

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;入，从而入是一个强极限基数，故入 Ec ,从而 c 是闭的。

    无界性：任取序数 a

    amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; lt ; k ，因为 k 的强极限性质，可以做以下基数序列（ yn

    amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; klnEw ):

    a

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt :y0, y 1=2y0,..., yn +1=2yn,...

    并取 y = supnEwyn ，因为 k

    a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; gt ; w 是正则的，所以 y

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 而且显然 a

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y 。可以证明 v 是强极限的：任取μ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; lt ; y ，则按照定义存在 nEw 使得μ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; yn ，从而2μs2y n = yn +1 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y ，于是 yEc 。这样 c 就是无界的。

    现假设 k 是马洛基数，则是不可达基数，而且是正则的。

    x :={\\ amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 入是正则的｝是 k 上的平稳集。按照定义， xNc 也将是 k 上的平稳集，而为“不可达基数”。

    xNc ={\\ amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kl 入为不可达基数｝。因为 k 上的平稳集总是在 k 中无界，故 xNc 的基数也将是 k ，也即 k 是第 k 个不可达基数。

    为了进一步考察马洛基数，我们再来证明以下两个命题：

    命题1：如果是第一个不可达基数

    K = min （入入是第入个不可达基数｝，则 k 不是马洛基数。

    命题2:如果 k 是马洛基数，则集合第入个不可达基数是｛入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kl 入是第入个不可达基数｝在 k 中无界。

    先证明命题1：按照定义，任何小于 k 的不可达基数 y 都是第 a

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; lt ; y 个不可达基数。现在定义是不可达基数：

    x :={ y

    amp ; amp ; amp ; amp ; a

    mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kly 是不可达基数｝上的函数 f : x →→ k 使得 f ( y )= a ，其中 a

    amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y ，且 y 是第 a 个不可达基数。从而 f 是 x 上的退缩函数。如果 k 是马洛基数，按照上一个证明， x 将成为 k 上的平稳集。按照福道尔定理，将存在一个 k 上的平稳集 Scx 和某个 b 使得任何 yES 有 f ( y )= b ，即任何 yES 是第 b 个不可达基数。但我们知道第 b 个不可达基数只有一个，这与 S 是平稳集矛盾。

    命题2:假设是第入个不可达基数：

    t :={\\ amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 入是第入个不可达基数｝在 k 中有界，即 su pt

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 。令 a = su pt ，则集合 c ={ b

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; lt ; k |β amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; gt ; a ｝是 k 上的无界闭集。因为 k 是马洛基数，所以

    是不可达基数。

    x ={\\ amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 入是不可达基数｝是 k 上的平稳集，按定义 xNc 也是 k 上的平稳集。而 xNc 是 k 中所有大于 a 的不可达基数的集合。而且每个不可达基数 yExNc , y 不可能是第 v 个不可达基数，从而 v 只可能是第 E

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y 个不可达基数。重复命题1的证明，在平稳集 xNc 上建立一个退缩函数，利用福道尔定理便可引出矛盾。

    3不可描述基数

    不可描述基数是对 V 的不可描述性（表现为反射原理）的深入刻画，即将 V 具有的不可描述性移植到作为集合的 Vk 上。对于作为大全的 V 我们不是很方便谈论，但 Vk 可以。称 k （实际也是 V K ）是∑ nm ﹣可描述的，在于存在一则∑ n m ﹣命题中，使得 p 仅在 Vk 中为真，即不存在 a

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k ，使得中也会在 Va 中为真。换言之，满足中这一描述的仅为 Vk ，中是 Vk 独有的描述，故构成对 Vk 的本质描述。反之，称 k 是∑ nm ﹣不可描述的，在于对任意∑ n m ﹣命题中， Vk 满足中就意味着存在 a

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k , Va 也满足中，所以仅仅是满足申并不意味着是在描述 Vk 。而\" k 是∑ nm ﹣不可描述的\"或\" K 是 Nnm ﹣不可描述的\"是则∑ n +1m﹣命题或 Nn +1m﹣命题，你的想法是对的，只是\" k 是一阶不可描述\"这点需要用二阶语句来描述，这样的二阶命题我们可以写出来，但一阶不行，并且如果存在这样的一阶命题，那么就如你所想的那样必然导致矛盾，这就意味着该语言是内在不一致的。所以，\"任意命题都无法描述\"不会是一个自洽的语言可以写出来的句子。

    4．弱紧致基数

    对于一阶逻辑语言的扩张 L 入 u ，即对任意 a

    amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入，允许语句的 a 次合取^ E

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; lt ; apa 和或取 VE

    amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; lt ; a ゆ a 仍作为一个语句；以及对任意 b

    amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt : u ,允许语句中出现 b 次存在量词＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; bxE 和全称量词 VE

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; bxE ；若 Lkk 的字母表仅含有 k 个非逻辑符号，并且 Lkk 的子集（语句集） t 存在模型（一致）当且仅当 t 的每个基数＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; lt ; k 的子集∑都存在模型（一致），则称 k 是弱紧致基数。

    对于不可数的弱紧致基数 k 可以证明：

    k 是正则基数

    假设 k 是奇异基数，取 k 的无界子集 x 有| x | amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k ，在字母表中添加常元符号（ ca : a

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; It ; k } U { c }

    定义语句集 t ={ c ≠ ca : a

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; lt ; k } U { VAExVa

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; lt ; Ac = ca }

    其中 V 入 ExVa

    amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; lt ；入 c = ca 是由 x |个形如 Va

    am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; It ；入 c = ca 的语句或取而成的，由于| x | amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; K ，这是一个合法语句但却遍历了每个 c a ，或取命题的成立只需要其中一项为真即可，对于 t 基数＆ amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 的含该语句的子集∑，其中都只会含有个 c ≠ ca ，由 x 在 k 中无界，必然存在国＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y , Va

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; yc = ca 就可为真与其余语句一致，但必与 t 的其余语句矛盾。

    2.k是极限基数

    假设 k 是后继基数，则存在入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; lt ; k ，使得2入≥ K 。

    在字母表中添加常元符号｛ ca : a

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入｝ U {da0:a amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; t ;?} U {da1:a amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; lt ;)}

    并定义语句集

    t ={^ d

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ；入[( ca =da0Vca=da0)Ada0≠da1]} U { pf :fE21}

    其中∧ a

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; x [( ca =da0Vca=da0) A da0≠da1］可以直观理解为定义了一个2入中的01序列 f *，中 f 则是使用 f 定义的形如 Va

    a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ;\\ ca * daf ( a ）的语句，其为真就意味着必有一项 ca 不同于 f 在 a 处的得值，即 f *≠ f 。显然， t 是不一致的。但对于 t 的基数＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; lt ; k 的子集∑，由于区＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; lt ; k

    amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ; ItI ，从而总能存在gE2入但中 g ≠∑,令 f *= g 即可满足

    3.k是巨大马洛基数

    已知 k 是不可达基数，故| Vkl = k ，对任一 UcVk ，扩充语言 Lkku ，其中含有谓词符号 u ( x ）被解释为 U ，再在其字母表中添加常元符号 c ，定义语句集 t ={ p ELKKu :( VK , E , U )=ф} U {ф a ( x ) Ax

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; c : o

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; lt ; k }，其中中 a ( x ）是对序数 a 的定义，即对任意 a

    amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 均有（ Vk , E )=ゆ a ( a )。由于 t基数＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 的子集∑都以（ Vk , E , U ）为模型，故 t 也存在模型（ m , E , U *)。由于（ Vk , E )=-3 n

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; wxn ( xn +1 Exn ), E 是 m 上的良基关系，由坍塌定理可得（ m , E , U *）又由于 Vk 的每个元素均可定义，{ oELkku :( Vk , E , U )= o ｝作为一个完备理论被（ m , E , U *）满足，就存在（ Vk , E , U ）到（ m , E , U *)的初等嵌入使得（ VK , E , U ）是（ m , E , U *）的初等子模型。

    设 U 为无界闭集，由于 UcU *，根据定义 sup ( UN k )= K 可得 KEU *，而（ m , E , U *)= u ( k ）蕴含（ m , E , U *)=3xф(x)л u (x)( V k,e, U )=3xф(x)л u ( x )，其中中（ x ）为一可由某一（ m , E , U *)见证的 k 所具有的性质。

    4.k是门11﹣不可描述基数

    由3．可知对任﹣ UcVk ，均存在初等嵌入使得（ Vk , E , U ）是（ m , E , U *)的初等子模型，扩充语言 Lkku 中的语句等价于以 U 为参数的语句，而 Vk 上的N11语句等价于 Vk +1上的N10语句，形如 VxEVK +1p( x ) Vk ，其中 p ( x ) Vk 是量词辖域为 Vk 的一阶语句，其成立取决于 Vk 和 U 中是否存在这样或那样的元素，由于 Vkcm , Vk = Vkm ,, p ( x ) VK ( m , E , U *)= o ( x ) Vk 。又由于 Vk +

    1mcVk+1，假设 VxEVk +1p( x ) Vk 但( m , E , U *)=- VxEVk +1p( x ) Vk 即（ m , E , U *)=3xEVk+1- p ( x ) Vk 就与假设矛盾。故对于 Vk 上的N11语句中中 m ，并且若（ Vk , E , U )＝中则（ m , E , U *）满足存在 a ,( Va , E , VaNU *)=中，( Vk , E , U ）就也满足存在 a ,( V a , E , VaNU *)=ф.

    5．可测基数

    问题：一个不可数基数 k 是可测基数（ measurable cardinal ）当且仅当 k 上存在 k ﹣完全的非主超滤。证明任何可测基数都是不可达基数（ inaccessible c ardinal )，即，都是正则且强极限的。

    首先证明正则性。若 k 是奇异的，即 cf ( k ) amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 。则可以取一个 k 的递增的共尾序列（ ay

    amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kly

    amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k ))，使

    supy

    amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k ) ay = Uy

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k ) a y = K

    取 k 上的一个 k ﹣完全的非主超滤 U ，则 U 是均匀超滤，从而每个 ayEU ,即 k - ayEU ，于是：

    Udny

    amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k )( k - ay )= k - Uy

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k ) ay =0

    这与 U 的滤子的定义产生了矛盾。再来证明强极限。也即证明任何入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; lt ; k ，有2入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp; amp ; amp ; amp ; lt ; k 。现用反证法，反设存在某个入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 使得2入 zk 。那么可以取2入＝{ flf ：入→＞2｝的一个子集 S 使得| SI = K 。并且按题意可以取 S 上的一个 k ﹣完全的非主超滤 U 。现在对于每个 a

    a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;入，如果 oa :={ fES | f ( a )=0} EU ，则令 x a = oa , ca =0；否则，我们有 la :={ fES f ( a )=1} EU ，这时我们令 xa = la ，且 sa =1。现在，我们定义了 U 上的一个长度为入的序列＜ xaEUla

    amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入＞，因为 U 是 k ﹣完全的，所以 Na

    amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;\\ xaEU ，但是，我们可以证明n a

    amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入 xa 中最多只有一个元素，因为任何 fENa

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;) xa ，都有 f ( a )= ea , Va

    amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入。这样n a

    amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ；入 xa ∈ U ，这就引出了一对矛盾。

    后话：看到有人不太理解强极限的证明。其实我们的目的很简单，就是希望对每个 a

    amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; lt ；入，定义一个集合 xaE U ，和一个数 eaE {0,1}。而它们的值究竟什么，则取于｛ fES | f ( a )=0｝和｛ f ∈ s | f ( a )=1｝哪一个属于 U ，如果前者属于 U ，则定义 xa ={ fES | f ( a )=0}，且 ea =0；如果后者属于 U ，则定义 xa ={ fES f ( a )=1}，且 sa =1。因为 U 是超滤，可知这种定义是合理的。

    强紧致基数

    当且仅当每个 k ﹣完全滤波器都可以扩展为 k ﹣完全超滤器时，基数 k 是强紧凑的。

    强紧基数最初是根据无限逻辑定义的，其中允许逻辑运算符采用无限多的操作数。常规基数 k 的逻辑是通过要求每个运算符的操作数量小于 k 来定义的；那么 k 是强紧致的，如果它的逻辑满足有限逻辑紧致性的模拟。具体来说，从其他一些陈述集合中得出的陈述也应该从基数小于 k 的某个子集合中得出。

    强紧性意味着可测性，并被超紧性所暗示。鉴于相关基数存在，与 ZFc 一致的是第一个可测基数是强紧基数，或者第一个强紧基数是超紧基数；然而，这些不可能都是真的。强紧基数的可测极限是强紧的，但至少这样的极限不是超紧的。

    强紧性的一致性强度严格高于伍丁基数。一些集合论学家推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等一致的。然而，在开发出超紧基数的规范内模型理论之前，不太可能提供证明。

    可扩展性是强紧凑性的二阶类比。

    强可展开基数

    形式上，基数 k 是入不可折叠的，当且仅当对于 ZFc 负幂集的每个基数 k 的传递模型 m ，使得 k 在 m 中并且 m 包含其所有长度小于 k 的序列，有一个将 m 的非平凡初等嵌入 j 到传递模型中，其中 j 的临一个基数是可展开的当且仅当它对于所有序数入都是入可展开的。

    基数 K 是强入不可折叠的，当且仅当对于 ZFc 负幂集的每个基数 k 的传递模型 m 使得 K 在 m 中并且 m 包含其所有长度小于 k 的序列，有一个非﹣将 m 的 j 简单基本嵌入到传递模型\" N \"中，其中 j 的临界点为 k , j ( k )≥入，并且 V （入）是 N 的子集。不失一般性，我们也可以要求 N 包含其所有长度为入的序列。

    【V=终极L】

    见证 w - 武丁基数的那个核心模型被指控使用了力迫，因而不是典范的(ical inner model)。

    见证武丁基数的武丁极限的那个核心模型同样被指控使用了力迫，并且原文是：

    we extend the stru of mitchell and Steel (Firucture and Iteration trees, Lecture Notes in Logic, vol. 3, Springer, berlin, 1994) to produce iterable 5ructure models which may tain woodin limits of woodin cardinals, and more. the precise level reached is that of a cardinal which is both a woodin cardinal and a limit of cardinals strong past it.

    也就是其实比武丁基数的武丁极限要强得多（是强极限），然而很多论文都只引用前者……

    这包含了以下条款：

    0. 见证 a 是武丁基数

    见证 a 是武丁基数并是一个对全体武丁基数之极限

    见证 a 是武丁基数并是一个对满足(1)的全体基数之极限

    ...

    γ. 见证 a 是武丁基数并是一个对满足 (＜γ) 的全体基数之极限

    ...

    a. 见证 a 是武丁基数并是一个满足一切 (γ＜λ) 的全体 λ 基数之极限

    另一方面该内模型见证cUbh(弱唯一分支假设)成立，并见证 ?a 对一切基数 a 成立

    而

    如果某个内模型见证一个基数 a 是 Π12 - 亚紧致基数存在则Ubh(唯一分支假设)成立并破坏 ?a。

    如果某个内模型见证pFA成立(proper f axiom)也见证 Π12 - 亚紧致基数。

    因而该内模型确实仅略低于并明确低于亚紧致基数，并且是内模型计划关于pFA这个子目标的最好结果。

    【冯·诺依曼宇宙V】

    起初，无穷公理断言了 V 中存在下列冯诺依曼序数

    ?{} ：被当做 0，因为没有东西∈{}

    ?{{}}：被当做1，因为只有0∈{0}，1也仅大于0

    ?{{}，{{}}}：被当做2，因为只有0,1∈{0,1}，2也仅大于0和1

    ?{{}，{{}}，{{},{{}}}}：被当做3，因为只有0,1,2∈{0,1,2}，3也仅大于0和1和2

    ?可以看出，被称作冯诺依曼序数的集合，是在以∈关系模拟数字之间的＜关系，n+1就是简单的把n的元素和n一起放到一个集合里。这样一来自然数集就天然的成为了一个无限序数w，w+1也能很自然的得到——怎么得到？

    ?有了 0,1,2,3,……,w 之后，V 中的东西都可以通过五种简单操作\/构造得到

    ?零、外延公理：对任意x和y，x=y 的情况是指 x 和 y 互为子集，即 x 的元素都是 y 的元素，并且 y 的元素都是 x 的元素。也就是说，{1,1}={1}，表达了任何对象都是唯一的。

    ?一、对集公理：任取x和y，都会存在 {x,y}。这里需要注意的是，{x,y}={y,x}，这里x和y是没有先后次序，而我们想要x和y次序区别可以这样做，{x,{y}} 和 {{x},y} 就是两种集合。由对集公理，若所取的x,z相等，则可得{x,z}={x}，这样对于存在 {x}和y，就可以再由对集公理得到 {{x},y}，这样的集合也被称作有序对，记作 ＜x,y＞。而由有序对构成的集合就是 V 中的‘函数’，因为 f(x)=y 这件事可以用 ＜x,y＞ 表示，简单明了。其中 x 构成的集合被称为 f 的定义域，y 构成的集合被称作 f 的值域。

    ?二、并集公理：对任意x，都存在y，使得对于每个z∈x，z的元素都是y的元素，y就是由x的元素的元素构成的集合，记作ux=y。初学者容易搞错的一点是，{1,2}包含了1，1又包含了0，但0并不是{1,2}的元素。比如 {?n：n∈w}这个由阿列夫n构成的集合只含有w个元素，只有通过并集公理，你才可以得到里面的阿列夫n含有的不可数个序数构成的集合。

    ?三、幂集公理：对任意x，都存在y，使得对任意z，若 z 的元素都是 x 的元素，则 z∈y。

    ?四、选择公理：对任意x，x≠{}并且{}?x 蕴含存在 f，使得对任意y∈x，都存在＜y,z＞，＜y,z＞∈f 并且 z∈y。它直观的表达出这样一件事：对任意x中的元素y，你都能将y中的一个元素挑出来，哪怕x是无穷集。

    ?而其更加直观的含义是：每个集合都有基数。在这个前提下下面一条就会变得通用

    ?五：对任意序数a，a个集合都能构成一个集合。属于是爆杀了对集公理。

    ?五代替不了幂集公理，因为得不到下一个无穷基数。也代替不了并集公理，在你刚得到 {?n：n∈w} 的情况下，任意序数都会被一个足够大的阿列夫n大于，现存的所有序数都在阿列夫w中，你要得到它就需要用阿列夫w本身，并集公理却可以让你根据 {?n：n∈w} 就能得到阿列夫w。

    ?以 0,1,2,3,……,w 为起点，V 中的所有集合都可以根据这4条原则揭示出来。

    ?集合论宇宙就是这么简单。

    要得到 w+1 ={0,1,2,3,……,w}，并不能直接运用【五】说 w+1 个元素即 0,1,2,3,……,w 构成一个集合，此时 w+1 还不存在。

    而是利用对集公理，先得到 {w}，再得到 {w，{w}}，然后用并集公理就是 w+1 了。以此类推。

    五：对任意序数a，a个集合都能构成一个集合。这里的a个集合严格的说是一个由集合构成的a长的序列。序列在集宇宙中就是一个以序数为定义域的双射函数，我们可以很自然的从中获取值域中的集合有被良好排序这一信息。

    比如 f(0)=毛毛虫，f(1)=星星，f(2)=铅笔，f(3)=乞丐，…… f 就像是为这些乱七八糟的事物标上了序号一样，形成一种排序。我们也可以用这种方式重新定义有序对，甚至推广。

    通常用 ＜S_b：b∈a＞ 表示一个 a 长的序列： S_0，S_1，……

    关系在 V 中也是一个具体的集合。比如自然数集上的＜关系，就是 w 上的一个二元关系，wxw 的一个子集。为什么这样说呢？

    首先，此处的 wxw 不是序数运算，而是笛卡尔积，之所以这样叫是因为这个集合的元素都是形如 ＜n,m＞ 的有序对，其中n和m都是自然数，像极了笛卡尔坐标。xxY 即 x 和 Y 的元素所有可能的两两(有序)配对。

    wxw 的一个子集：

    { ＜0,1＞ ，＜0,2＞ ，＜0,3＞ ，……

    ＜1,2＞ ，＜1,3＞ ，＜1,4＞ ，……

    ＜2,3＞ ，＜2,4＞ ，＜2,5＞ ，……

    ……} 就表达了自然数之间的＜关系，因为 2＜5，所以 ＜2,5＞ 在其中。因为不存在 5＜2，所以＜5,2＞不在其中，就这么简单直观。

    而＜关系还是 w 上的一个良序关系，即可以将 w 中的元素排成有起点的一列：0,1,2,3,……，而这个序列的长度是 w ，则称 (w,＜) 的序型是 w 。表示 w 依照 ＜ 形成的结构是一个长度为 w 的序列。

    自然，w 上还存在其它良序关系，比如可以排成 1,2,3,……,0；长度为 w+1，因为其中的0排在w个元素之后。

    亦或者将奇数放在前面，偶数放在后面，就形成了一个 w+w 长的序列。

    如此，对 wxw 取幂集，就可以得到 w 上的所有二元关系，因为选择公理 p(wxw) 有基数 a，就可以利用【五】得到 p(wxw) 的一个子集，即 w 上所有良序关系，从而得到 (w,E) 的集合，它们的序型都是可数序数。再用【五】来得到所有可数序数的集合，即最小的不可数序数——阿列夫1。

    因为对任意整数 z，我们都可以取两个自然数 n,m，使得 n-m=z，比如负数 -2=7-9，我们就可以适当的定义一个 wxw 的一个子集 Z 和其上的关系，以至于能够模拟整数域。

    而因为任意有理数都可以表示为两个整数之比，即 a\/b，我们也可以适当的定义 ZxZ 的一个子集 q 和其上的关系，以至于能够模拟有理数域。

    引用戴德金分割，我们也可以适当的定义 p(q)xp(q) 的一个子集 R 和其上的关系，以至于能够模拟实数域。

    而这之后的复数，因为可以简单的用 ＜a,b＞ 表示 a+bi ，我们就可以适当的定义 RxR 的一个子集和其上的关系，以至于能够模拟复数域。

    主流数学的大厦就这样建成了。

    p(w) 会包含 w 的所有子集，其中就包括了对任意 n 都有的{n}

    p(p(w)) 会包含 p(w) 的所有子集，其中可以有 p(w) 中元素 n,{m} 的集合，＜n,m＞

    p(p(p(w))) 会包含 p(p(w)) 的所有子集，即那些 p(p(w)) 中元素构成的集合，如 ＜n,m＞ 的集合，w 上的二元关系，整数在此处显现。

    以此类推，q 就会在 w 的 6 次取幂 p(p(p(p(p(p(w)))))) 中存在。

    而作为 p(q) 的二元关系，实数域则会在 w 的 10 次取幂中显现。

    利用【五】得到 p(w),p(p(w)),p(p(p(w))),…… 这样一个 w 长的序列，再用并集公理得到的就是被称作【超结构】的囊括全体主流数学和物理宇宙的大全。

    而这仅仅只是 V 显露的开始。

    冯诺依曼宇宙可以说是一切宇宙的模板，它可以定义为一个层谱结构：

    V_0 := {}

    V_a+1 := p(V_a) ——V_a的幂集

    由取幂依赖于前一个集合，所以对于极限序数a 并不能直接定义 V_a，比如 V_w 不会是哪个集合的幂集，因为不存在 n+1=w 。所以在极限序数处我们要修改定义

    V_a := u{V_b：b∈a}，而这一并集也就直观上取了无限次幂集的内容。

    最终 V := u{V_a：a∈绝对无限}

    哥德尔宇宙与此类似

    L_0 := {}

    L_a+1 := d(L_a) ——L_a 在现阶段（在L_a+1构造出来之前，现有的大全就是L_a）使用参数可定义的子集的集合。因为公式只有可数个，而可引用的参数也只有 L_a 的基数个，所以并不会像 V_a+1 一样添加超越当前基数个的集合进来。但每一层构造都也因此是清晰明了的。

    在极限序数的阶段同样

    L_a := u{L_b：b∈a}，以及 L := u{L_a：a∈绝对无限}

    pS:一个集合或真类 S 是可定义的意思是，存在一个公式 φ(x)，使得 φ(x) 成立的 a 即 φ(a) 为真的 a 构成的集合或真类=S。比如绝对无限的定义就是 “x 是序数”，使得该公式成立的集合构成的类正是所有序数的类。所以 a 会首次出现在 L_a+1 中，a 也是相对于 L_a 的绝对无限。

    此外还有两种扩张版本

    L(x) 就是将 L(x)_0 这个初始步骤改成集合 x 得到的。尽管 L(x)_0 之后的每层的结构都很清晰，但如果 x 本身就不清晰的话，那后续其实也是不完全清晰的。

    而使用更多的

    L[x] 则是修改 d(L_a) 这一步，d_x(L_a) 就是将 xnL_a（x 和 L_a 的交集作为参数） 加入公式后可定义的子集的集合。

    集合作为参数的效果往往相当于加了一个 “x 是……” 的“词汇”，比如 n∈w 就表达了“n是自然数”这件事。在 x 是无法定义的情况下，以 x 为参数就是很有价值的。而取交集就导致了 L[x] 比 L(x) 更清晰，因为 xnL_a 中的元素都还是 L_a 的元素。

    至于终极L没了解过不懂。不只是现在没有定义式，而是现有的尝试方法是咋样的都不清楚。

    关于为什么 V 是不清晰的

    L_a 的构造是完全符合我们理解中的凭现有的集合来构造新的集合，如此积累，直至绝对无限，成型。每一步尽在把握。

    但 V 的构造中，取幂集这一步，就是直接取了所有子集，包括了未来我们会认知构造的子集，也就是说宇宙已经成型了，然后取其中的 x 的所有子集来构成集合，这就存在一种跳跃。哪怕 V 中混杂了什么不在 L 中的集合，就像 L(x) 那样，我们也是不知道的，无法证明无法证伪。

    尽管上述公理以 0,1,2,3,……,w 为起点构造出来的集合都在 L 中——0,1,2,3,……,w∈L并且上述公理也在L中成立

    但显然也有 0,1,2,3,……,w∈L(x) 并且上述公理也在 L(x) 中成立

    若取 x?L，并假设会导致 L 满足命题 “对于所有x，都有……” ，而 L(x) 却因为 x 是该命题的反例（类似于塞了一只白乌鸦到世界里去，成为了天下乌鸦一般黑的反例），导致“对于所有x，都有……” 在 L(x) 中为假

    在这种情况下，若上述公理可以证明或证伪这个命题，就都会在另一个宇宙中产生矛盾。所以如果一致，就不能证明或证伪这个命题。

    【脱殊复宇宙】

    脱殊扩张：是说包含 V ﹣可定义的偏序集 p ．然后 p 上面有一个滤子称之为脱殊滤子 G ．这个脱殊滤子对于 V 而言就有一种 ransdence 的感觉（即脱殊）接着然后通过把 G 加到 V 中来产生一个新的结构：( V 的）脱殊扩张 V [ G ]．作为一个 ZFc 的模型。那么脱殊复宇宙就是：拥有在所有的力迫扩张（和一些 ground models )下 closure 形式的宇宙 V ．这是 woodin 的成果之一。它确保了广义连续统的成立。

    脱殊复宇宙假设：脱殊复宇宙假设认为我们所处的宇宙只是个例子，存在着许多类似于我们宇宙的其他宇宙，每个宇宙都有其自己独特的物理规律和初始条件。这些不同的宇宙被称为\"平行宇宙\"

    脱殊复宇宙与复宇宙：在 hamkins 关于复宇宙的描述出现之前， woodin等人就提出过脱殊复宇宙（ generic multi verse ）的概念（参见［12]、[14］等）. hamki ns 的复宇宙概念与脱殊复宇宙概念有较密切的联系但不尽相同．脱殊复宇宙是由一些宇宙生成的在力迫扩张关系的对称闭包关系下封闭的集合论宇宙的聚合．例如，假设 m 是一个可数传递的 ZFc 模型。任给可数传递 ZFc 模型m1,m2，我们定义m1~ mz 当且仅当m2是 m ；的力迫扩张或 m ；是m2的力迫扩张，则 Va =[ m ］是由 m 生成的脱殊复宇宙．定理（ Laver

    9-woodiz10])如果V是w的力迫扩张(即w是V的基模型)，那么w是V的内模型.并且存在V的所有基模型的统一的定义.即，存在集合论公式p(r，3)使得，如果V=wG是由w中的偏序p上的脱殊滤Gcp生成的脱殊扩张，那么存在rw使w=fx|(ra)3.根据上述定理，容易看出hamkins的复宇宙概念由于满足可实现公理和力迫扩张公理因而也是脱殊复宇宙.显然，脱殊复宇宙的强调的封闭性弱于复宇宙，这是因为，hamkins通过复宇宙概念希望表达的是他关于集合论宇宙二阶存在的多宇宙观，而我认为脱殊复宇宙在woodin等人着作中被提出是实在论者在执行哥德尔计划过程中向形式主义的妥协

    脱殊复宇宙

    定义1.

    令m为ZFc的可数传递模型，则由m生成的脱殊多宇宙Vm为满足以下条件的最小模型类:

    1.m∈Vm;

    2.如果N∈Vm，而N''=N[G]是N的脱殊扩张，则N''∈Vm;

    3.如果N∈Vm，而N=N''[G]是N''的脱殊扩张，则N''∈Vm。

    简单说，Vm是包含m并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。由V生成的脱殊多宇宙记作V。

    定义2.2 (脱殊多宇宙的真)对任意ZFc的可数传递模型m，和对任意集合论语言中的语句σ，我们称.σ是m-脱殊多宇宙真的，当且仅当它在Vm的每个模型中都真，记作Vm=σ;

    σ是m-脱殊多宇宙假的当且仅当VmF7σ;

    .σ是m-脱殊多宇宙无意义的当且仅当VmFσ并且VmF7σ。

    特别地，如果σ在由V生成的脱殊多宇宙中为真，则称σ是脱殊多宇宙真的，记作V=σ。，

    脱殊扩张:力迫法

    统假设的否定的一一致性，即

    (222)

    ZFc-(ZFc)→(ZFc+-ch).

    与哥德尔对已有zFc模型m进行限制从而得到满足特定命题的子模型L“的构造方式不同，力迫法所构造的模型m[GI是包含给定模型m为其子模型的更大的模型。

    假设ZFc一致，那么由哥德尔的逻辑完全性定理”。就存在一个zFc的集合模型。再由定理2.35.及motowsh坍塌，可以得到一个ZFe的可数传递模型，我们一般把可数传递模型作为力追法的原模型(grond moder).，

    元素称作条件(onditon).对ng∈p，若μ≤q(w≤η或p∞小.我们称条件p比η强;若p⊥小.即不存在r∈p满足r≤p且r≤小.则称条件p与q不相容或不能同真。

    定义2.2.0假设p是偏序我们称dSp是网密的(demwe).当且仅当对任意p∈p，存在η∈d满足η≤p

    给定pEp.我们说dSp在p之下铜密。当且仅当dNpIp是pIr的稠密F集，其中pIp={q∈p|qs小.

    定义2.2.7假设p是偏序，我们称Fcp是偏序p上的滤，当且仅当 pp.

    (2)若p∈F且p
    定义2.2.8假设p是模型m中的偏序，G是偏序p上的滤.我们称p上

    我们一般要求力迫法的原模型 m是可数的，是因为这样的话，对任意m中的保序p只有可数个m中的p上的网密果。假文(d1
    当且仅当 pp.

    (2)若p∈F且p＜y.则η∈F.

    定义2.2.8假设p是模型m中的偏序，G是偏序p上的滤.我们称p上

    我们一般要求力迫法的原模型 m是可数的，是因为这样的话，对任意m中的保序p只有可数个m中的p上的网密果。假文(d1＜N是m中所有所有d.都是稠密的，所以p总能够取到。令G={v∈p|3i＜n(ws小}.容易证明，G是滤，并且是m.脱殊滤。因此，可数模型中的任意偏序上:总存在脱严格来说，我们对于用来力迫的条件集，印偏序p没有任何额外要求。但在力迫法的实际运用中，偏序集p椰满足如下性质，

    (22)

    对任意p∈p，存在qsp.rSμ满足q⊥r.

    定理2.2.9 p∈m1是偏序。p满足(223).当且仪当任意p上脱殊

    因此，对于不满足(22.3)的偏序，存在其上脱殊滤G∈m.又根据定理2.16.由此生成的脱殊模型mI(c]= m，将没有意义。我们称之为平凡力迫。他的世界，而这种在m中的人们看来可能的世界。在m“之外”的人们看来却是一个现实的集合模型mI(G].我们定义m中人们用来指称mI(c)中对象的专名(但名)的集合m“:

    定义2.2.10 r是p名，当且仅当+是关系，且对任意(.d)∈t，π是只名且p∈p.

    注意，上述定义应理解为递归定义。而并非循环定义。

    定义22.11t是p名， G:是脱殊滤.?

    ={t°1(br∈(，1E小

    定义脱殊扩张

    mIG(={r°Iremr).

    注意，r的定义也是递归的。

    我们还可以用递归方式来定义基础模型中集合的典范名。

    定义2.2.12对任意工。定义*=(0.川|vex，p∈p}.

    显然，对任意到，主是p名。通过归纳，容易证明，g=x因此m≤我们定义脱殊滤的典范名:

    定义2.2.18 G=(.川)1pe则)

    注意， c其实不依赖于具体的脱殊滤G且c∈m. G是m中的人们用来指称G的名字，但生活在m中的人并不知道G到底是什么，事实上，的解杯(定2.1)，包括G自身:

    . cr-Geion.因而，在非平凡的情况下，我们期望NS m(q).

    最后，我们定义力迫语言的语义。即条件与力迫讯言公式之间的力迫关系.

    定义22川)μ4η≤加当且仅当对任意(m，nen.集p啡η一η当且仅当plηSηhplηζη.

    l在》之下稠密当集合{0≤p 30.n)∈n60≤rλ9θπ=(2)php入ψ.当且仅当php且pe.

    (3)plhψ.当且仅当对任意ηSp井非q14.

    pFarp，当且仅当集合{vep|3(r是p名(4)在p之下

    上建定文中，中的(n).是基于办刀所属阶层的遭归定义.该部分，即条件与原子公式的力迫条件与原子公式的力迫关系。在m下是绝对的。而整个定义。即-(v)，.应被视为基于公式复尔度的通的定义。注意(于和中的无外量调物，所以一力迫关系可理解为 mN中的人“所掌握的关于m(c]的一般知识的体系。即如果p力迫φ.那么无论mI(G]到底是什么(无论取什么G)，若条件p真(w∈G)，则p也真(sm.这正是下述定理所表达的

    定理2.2.15 m是ZFc的可数传递模型，p是N中偏序，G是p上(相对于m)的脱殊滤。则存在m的脱殊扩张m|GI，给定公式.......(所有自由变元已列出)和....则

    .....当且仪当和e G(n4......由此，可以进-步得到脱殊扩张基本定理。

    定理2.2.16 (脱殊扩张基本定理) m是ZFc的可数传通模型，p是m中偏序，G题p上(相对于m)的脱殊滤。则存在m的脱殊扩张mIcI，满足:(1) mIG]见ZFc的传通模型。

    (2) mS mI(G] lGe m(]:

    (3) m[G]是满足(1).(2)的最小极型。

    品然，脱殊扩张sm(q可以被看作是s1加上一个脱殊迪a生成的集合论运算下的闭包，利用脱殊扩张基本定理，我们可以通过设计m中的偏序p来逐步迫近那个无法在m中存在的脱殊池G.使得生成的G见证了m(G]满足我们所希望的性质。

    脱殊复公式为： t =(2G\/c^2)*(m\/R)其中，t表示脱殊时间，G表示引力常数，c表示光速，m表示宇宙质量，R表示宇宙半径。
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