通常的AdS\/cFt模型中，场论需要取大N极限。

        考虑cFt中的一个sirace 算符， 它的k点函数满足 o(N2?k)o(N^{2-k}) ，因此取大N极限的话只有两点函数不为0。同时如果要想让sirace算符具有合理的大N极限， 我们可以定义一个减除过后的sirace算符

        w=trw??trw?\\mathcal{w}=tr w-\\lar w\\rangle

        此时因为在大N极限下只有两点函数会出现，因此算符构成了一个自由场论。

        考虑所有互相之间具有非零的对易子的算符，可以组成代数 AL,0,AR,0\\mathcal{A}_{L,0}, \\mathcal{A}_{R,0}, 它是定义在边界上的 .根据对偶关系，有

        AL,0=Al,0.AR,0=Ar,0\\mathcal{A}_{L,0}=\\mathcal{A}_{l,0}. \\mathcal{A}_{R,0}=A_{r,0}

        因此边界上的sirace算符组成的代数等价于bulk中黑洞视界外的场论组成的代数。

        那么这个代数属于哪种冯诺依曼代数呢？

        通常对于一个热场二重态

        |tFd?=∑ie?βEi\/2|Ei?L|Ei?R|tFd\\rangle=\\sum_{i}e^{-\\beta E_{i}\/2}|E_{i}\\rangle_{L}|E_{i}\\rangle_{R}

        它可以全息的描述一个永恒黑洞，不过此时需要注意的是，形成这个tFd的参数 β\\beta 描述的是左侧或者右侧黑洞的温度，而在AdS时空中，存在霍金佩奇相变，因此温度需要大于hawking-page温度这个描述才是成立的。

        t＞tpaget＞t_{page}

        而在page温度以下，时空处于AdS真空态。对于真空态，大N极限可以良好的定义，因此通常可以认为代数在大N下满足von-Neumann I∞I_{\\infty} ，而当温度大于page温度之后，其大N极限不能被良好的定义，表现在能量，熵等都会发散。（实际上这个大N极限的定义问题，对于理解高维的引力ensemble对偶具有重要意义） 表现在代数上，意味着此时在大N极限下，von-Neumann代数会变成type III1\\mathrm{III_{1}} 的. 同时tFd态的希尔伯特空间不再左右可分，上面关于tFd态的写法不再成立。这一点可以通过全息也能看出，根据全息，我们可以在黑洞背景下构造hilbert空间，此时这个希尔伯特空间就是弯曲时空下量子场的希尔伯特空间，因此它必然是type III\\mathrm{III} 型的代数。

        以上在取大N极限之后，演生出了一个type III1\\mathrm{III_{1}} 的von-Neumann代数。可以考虑是否可以将这个代数加入一些其他的元素，使其扩充为一个更大的代数。一个自然的想法是加入边界的哈密顿量，考虑减除后的哈密顿量

        hR′=hR??hR?h_{R}''=h_{R}-\\langle h_{R}\\rangle

        因为 ?hR′2?～N2\\langle h_{R}''^{2}\\rangle \\sim N^{2} , 这个哈密顿量依然没有大N极限。为了定义它在大N极限下表现良好，可以定义

        U=1NhR′U=\\frac{1}{N}h_{R}'' , 在大N下U不为0也不发散，因此具有良好的大N极限。而对于 V∈AR,0\\mathcal{V} \\in \\mathcal{A}_{R,0} ,有如下关系

        [U,V]=1N[hR,V]=?iN?V?t[U,\\mathcal{V}]=\\frac{1}{N}[h_{R},\\mathcal{V}]=-\\frac{i}{N} \\frac{\\partial \\mathcal{V}}{\\partial t}

        取 N→∞N \\to \\infty ,我们发现 [U,V]→0[U,\\mathcal{V}] \\to 0 , 因此U是 AR,0\\mathcal{A}_{R,0} 这个代数的ter。并且因为U和其他算符都对易，不满足 AR,0\\mathcal{A}_{R,0} 中的元素要求，所以扩充后的代数结构为 AR=AR,0?AU\\mathcal{A}_{R}=\\mathcal{A}_{R,0} \\otimes \\mathcal{A}_{U} . 作用的空间为 htFd?L2(R)\\mathcal{h}_{tFd}\\otimes L^{2}(R) . 此时的代数依然是type III\\mathrm{III} 的，但是因为它具有了一个非平庸的ter，因此不再是一个factor。 一个代数是factor的定义是它只有平庸（为常数）的ter。

        有趣的事情发生下 1\/N1\/N 阶，此时根据对易关系

        [hR′\/N,a]=(?i\/N)?ta[h_{R}''\/N,a]=(-i\/N)\\partial_{t}a ，此时因为考虑 o(1\/N)o(1\/N) 的修正，所以哈密顿量不能简单的认同为U，而是也要考虑修正，好在此时的修正可以很容易的获得

        1NhR′=U+1βNh^\\frac{1}{N}h_{R}''=U+\\frac{1}{\\beta N} \\hat{h}

        其中 h^\\hat{h} 是modular hamiltonian， 它的定义如下

        h^=∫SdΣνVμtμν\\hat{h}=\\int_{S} d\\Sigma^{u}V^{\\mu} t_{\\muu}

        它具有简单的边界对偶，因此也可以作为边界上的算符。

        因此考虑原来的算符集合，加入 U+h^\/βNU+\\hat{h}\/\\beta N 算符之后的修正，此时因为这个算符与原算符 AR,0\\mathcal{A}_{R,0} 不再对易，因此不会形成一个直积的结构, 实际上 U+h^\/βNU+\\hat{h}\/\\beta N 产生的是一个外自同态（outer automorphism) 的结构，所以实际上代数为 AR=Ar,0?AU+h^\/βN\\mathcal{A}_{R}=\\mathcal{A}_{r,0} \\rtimes \\mathcal{A}_{U+\\hat{h}\/\\beta N} .

        外自同态(outer automorphism)的定义如下：

        考虑一个 h\\mathcal{h} 上的算符t， 如果 ?a∈A,s∈R\\forall a \\in \\mathcal{A}, \\quad s \\in R , 都有

        eitsae?itS∈Ae^{it s}a e^{-it S} \\in \\mathcal{A}

        再考虑一个扩充的希尔伯特空间 h?L2(R)\\mathcal{h} \\otimes L^{2}(R) ,此时有一个更大的代数 A?R\\mathcal{A} \\rtimes R ，它的生成元为 a?1,eist?eisxa \\otimes 1, e^{is t}\\otimes e^{is x} 或者是 aeist?eisxae^{is t} \\otimes e^{is x}

        当t属于 A\\mathcal{A} 的时候，生成的自同态叫做inner的，而当 tt 不属于 A\\mathcal{A} 的时候，生成的自同态是outer的。

        如果这个自同态结构是通过 h^\\hat{h} 形成的，那么此时这个R叫做模自同态群，可以看出加入边界哈密顿量之后的sirace算符的代数结构就是上面讨论的这种数学构造。

        一个数学定理说的是： 对于一个type III1III_{1} 的factor，它和其外模自同态群（outer automorhphism）形成的代数结构 AR=Ar,0?AU+h^\/βN\\mathcal{A}_{R}=\\mathcal{A}_{r,0} \\rtimes \\mathcal{A}_{U+\\hat{h}\/\\beta N} 是一个type II∞\\mathrm{II}_{\\infty} 的von Neumann代数。 它也是一个factor。

        type II的代数和type III的代数的一个重要不同在于，type II代数具有求迹的结构，而type III代数没有。因此当代数转变为type II的时候，可以自然的定义一个子区域的求迹，进而定义密度矩阵和纠缠熵。

        下面来探索，此时定义的求迹的表达式的形式：

        考虑扩充的希尔伯特空间中的态 Ψ^=Ψ?g1\/2(x)\\hat{\\psi}=\\psi\\otimes g^{1\/2}(x) , 其中 Ψ\\psi 是关于代数 Ar,0\\mathcal{A}_{r,0} 的一个cyclic-seperating的态，因为 g1\/2g^{1\/2} 是恒正的，因此 Ψ^\\hat{\\psi} 也是一个cyclic-seperating的态。

        对于 Ar,0\\mathcal{A}_{r,0} 有一个modular 算符 ΔΨ\\delta_{\\psi} , 满足如下的关系

        ?Ψ|ab|Ψ?=?Ψ|bΔΨa|Ψ?\\langle \\psi|ab|\\psi\\rangle=\\langle \\psi|b \\delta_{\\psi}a |\\psi\\rangle

        证明比较简单

        ?Ψ|bΔΨa|Ψ?=?Ψ|bSΨ?SΨa|Ψ?=?b?Ψ|SΨ?|SΨaΨ?=?a?Ψ|SΨ|b?Ψ?=?Ψ|ab|Ψ?\\langle \\psi|b \\delta_{\\psi}a |\\psi\\rangle=\\langle \\psi| b S^{\\dagger}_{\\psi} S_{\\psi} a|\\psi \\rangle =\\langle b^{\\dagger}\\psi|S_{\\psi}^{\\dagger}|S_{\\psi}a\\psi\\rangle=\\langle a^{\\dagger}\\psi|S_{\\psi}|b^{\\dagger}\\psi\\rangle=\\langle \\psi|ab|\\psi\\rangle

        其中用到了modular 算符的表达式 ΔΨ=SΨ?SΨ\\delta _{\\psi}=S_{\\psi}^{\\dagger}S_{\\psi} , 以及 SΨS_{\\psi} 是一个反线性算符。

        如果定义 au=eih^Ψuae?ih^Ψua_{u}=e^{i\\hat{h}_{\\psi} u} a e^{-i \\hat{h}_{\\psi} u} , 那么也可以得到KmS关系 ?Ψ|aub|Ψ?=?Ψ|bau+i|Ψ?\\langle \\psi|a_{u}b|\\psi\\rangle=\\langle \\psi|b a_{u+i}|\\psi\\rangle

        而对于扩充代数，此时它也应该具有一个相应的modular算符 Δ^Ψ^\\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}

        ?Ψ^|a^b^|Ψ^?=?Ψ^|b^Δ^Ψ^a^|Ψ^?\\langle \\hat{\\psi}|\\hat{a}\\hat{b}|\\hat{\\psi}\\rangle=\\langle \\hat{\\psi}|\\hat{b}\\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}\\hat{a}|\\hat{\\psi}\\rangle , 此时 a^,b^∈Ar,0?Ah^Ψ+x\\hat{a}, \\hat{b} \\in \\mathcal{A_{r,0}}\\rtimes \\mathcal{A}_{\\hat{h}_{\\psi}+x} , 记 x=βNUx=\\beta N U

        因为此时 a^=aeis(h^Ψ+x)\\hat{a}=a e^{is (\\hat{h}_{\\psi}+x)} ,容易验证扩充后的modular算符的表达式为

        Δ^Ψ^=ΔΨg(h^Ψ+x)g(x)?1\\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}=\\delta_{\\psi} g(\\hat{h}_{\\psi}+x) g(x)^{-1}

        这个公式意味着它可以拆分为两部分 Δ^Ψ^=K~K\\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}=\\tilde{K}K

        K=Δe?xg(h^Ψ+x),K~=exg(x)K=\\delta e^{-x} g(\\hat{h}_{\\psi}+x), \\quad \\tilde{K}=\\frac{e^{x}}{g(x)}

        有了以上的准备工作，可以给出对于 A?R\\mathcal{A} \\rtimes R 上的算符 a^\\hat{a} 的trace

        tra^=?Ψ^|a^K?1|Ψ^?tr \\hat{a}=\\langle \\hat{\\psi}|\\hat{a}K^{-1} |\\hat{\\psi}\\rangle

        可以验证它确实满足trace的定义

        tra^b^=?Ψ^|a^b^K?1|Ψ^?=?Ψ^|b^K?1Δ^Ψ^a^|Ψ^?=?Ψ^|b^K?1Δ^Ψ^a^Δ^Ψ^?1|Ψ^?tr\\hat{a}\\hat{b} =\\langle \\hat{\\psi}|\\hat{a}\\hat{b} K^{-1}|\\hat{\\psi}\\rangle=\\langle \\hat{\\psi}|\\hat{b}K^{-1}\\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}\\hat{a}|\\hat{\\psi}\\rangle=\\langle \\hat{\\psi}|\\hat{b}K^{-1}\\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}\\hat{a} \\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}^{-1}|\\hat{\\psi}\\rangle

        带入 Δ^Ψ^=K~K\\hat{\\delta}_{\\hat{\\psi}}=\\tilde{K}K ,就可以知道

        tr(a^b^)=?Ψ^|b^a^K?1|Ψ^?=tr(b^a^)tr(\\hat{a}\\hat{b})=\\langle \\hat{\\psi}|\\hat{b}\\hat{a}K^{-1}|\\hat{\\psi}\\rar(\\hat{b}\\hat{a})

        这里用到了 K~\\tilde{K} 和a对易。

        利用 ΔΨΨ=Ψ,h^Ψ|Ψ?=0\\delta_{\\psi}\\psi=\\psi, \\quad \\hat{h}_{\\psi}|\\psi\\rangle=0 , 求迹操作的定义可以写为如下简单的形式

        tr(a^)=?Ψ^|a^exg(x)|Ψ^?=∫?∞∞dxex?Ψ|a^|Ψ?tr(\\hat{a})=\\langle \\hat{\\psi}|\\hat{a}\\frac{e^{x}}{g(x)}|\\hat{\\psi}\\rangle=\\int_{-\\infty}^{\\infty} dx e^{x}\\langle \\psi|\\hat{a}|\\psi\\rangle

        有了trace的定义，就可以讨论密度矩阵的定义，对于一个属于hilbert空间的态 |Φ?∈h|\\phi\\rangle \\in \\mathcal{h} , 可以定义 p∈A\\rho \\in \\mathcal{A}

        ?Φ|a|Φ?=tr(pa)\\langle \\phi| a |\\phi\\rar(\\rho a)

        由以上定义可以看出，对于cyclic seperating的态 |Ψ^?|\\hat{\\psi}\\rangle ,密度矩阵就是 K. 得到密度矩阵之后，自然也可以考虑子区域的纠缠熵

        S(p)=?tr(plogp)S(\\rho)=-tr(\\rho log \\rho)
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